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## 相关和回归
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我们知道，可以通过对指标的维度拆来解寻找指标变化的原因。当我们找到问题的原因时，自然会进一步思考一个问题：指标变化的原因这么多，其中的关键因素又是哪个呢？例如，我们在工作场景中时不时会讨论这些问题：
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1. 电商类产品想知道哪个品类销售对整体销售贡献更大；
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2. 渠道运营想知道哪个渠道的用户对整体活跃作用更大；
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3. 产品想知道到底哪些维度（城市、年龄、接入设备等）会影响整体活跃。
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还有很多类似的场景，在这种情况下我们不仅要要找到数据变化的原因，还需要明确出不同原因的重要性。因为实际工作中可用资源有限，只能集中优势资源解决核心问题。
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### 相关分析基本概念
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相关性分析，指对两个或多个指标进行分析，评估它们两两之间联系或相互影响的程度。相关性分析不仅可以分析出多个指标间是否存在相关关系，还能给出相关程度的量化值。在进行相关性分析时，我们会使用“相关系数”定量给出几个指标间联系和影响的程度，通常用 $ \rho $ 来表示，计算公式为：
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$$
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\rho = \frac {cov(X, Y)} {\sqrt{var(X) \cdot var(Y)}}
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$$
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需要注意的是，$ \rho $ 只能用来度量线性关系，它的取值在 $ [-1, 1] $ 之间。数据中的离群值会对 $ \rho $ 产生影响，在计算时必须先剔除，实际使用相关关系时，还需要**关注相关关系的稳定性**。
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我们用 $ \rho $ 值判断指标的相关性时遵循以下两个步骤。
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1. 判断指标间是正相关、负相关，还是不相关。
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- 当 $ \rho \gt 0 $，认为指标间是正相关，也就是两者的趋势一致。如果指标 A 与指标 B 的 $ \rho \gt 0 $，那么指标 A 上涨，指标 B 也会上涨；反之亦然。
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- 当 $ \rho \lt 0 $，认为指标间是负相关，也就是两者的趋势相反。如果指标 A 与指标 B 的 $ \rho \lt 0 $，那么指标 A 上涨，指标 B 会下降；反之亦然。
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- 当 $ \rho = 0 $，认为指标间是不相关的，但并不代表两个指标是统计独立的。
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2. 判断指标间的相关程度。
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- 当 $ \rho $ 的值在 $ [0.5,1] $ 之间，认为指标间是强相关，指标间的业务联系非常紧密。
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- 当 $ \rho $ 的值在 $ [0.1,0.5) $ 之间，认为指标间是弱相关，指标间的业务联系不太紧密。
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- 当 $ \rho $ 的值在 $ [0,0.1) $ 之间，认为指标间是无相关，指标间的业务联系无任何联系，也就是说当我们去运营指标 A 时，指标 B 不会产生相应的变化。
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### 相关分析应用场景
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事实上，相关性分析的应用场景非常多，基本上当问到“这两个东西有什么关系”、“哪个指标的作用（贡献或价值）更大”、“我们应该重点解决哪个问题”这类问题时，都可以用相关性分析给出比较准确的回答，非常便于产品运营找到解决问题的核心抓手。
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<img src="https://gitee.com/jackfrued/mypic/raw/master/20210713095938.png" width="80%">
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在使用相关分析时，应注意以下几个方面：
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1. 业务意义：当我们想知道A指标的情况时，可以监控B指标。
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2. 注意事项：千万不要将相关关系判断为因果关系，相关关系是伴随关系而不是因果关系。
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3. 强相关关系才是有业务价值的，建议寻找相关系数在 0.6 以上甚至 0.8 以上的指标。
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4. 相关关系的本质是 Y 的变化有多少能被 X 解释，跟 X 和 Y 之间的斜率大小无关。
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### Excel计算相关系数
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1. 方法一：使用 CORREL 函数。
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2. 方法二：使用“数据分析”模块的“相关系数”功能。
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<img src="https://gitee.com/jackfrued/mypic/raw/master/20210713164021.png" width="75%">
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### 线性回归
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如果只有一个自变量 X，而且因变量 Y 和自变量 X 之间的数量变化关系呈现近似的线性关系，就可以建立一元线性回归方程，通过自变量 X 的值来预测因变量 Y 的值，这就是所谓的**一元线性回归预测**，回归方程如下所示：
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Y = aX + b
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$$
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我们可以通过历史数据（已知的 $ X $ 和 $ Y $ ），确定参数 $ a $ 和 $ b $ 的值，还原出回归方程，从而实现预测。很显然，$ a $和 $ b $ 的取值可以有很多种选择，那么什么才是最好的 $ a $ 和 $ b$ 呢？如果把真实值记为 $ y $，把预测值记为 $ \hat{y} $，那么让 $ SSR $ 值最小的 $ a $ 和 $ b $ 就是最好的 $ a $ 和 $ b $ ，称之为**最小二乘解**，其中$ SSR $ 值计算公式如下所示：
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SSR = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y_i})^2
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损失函数是凹函数，找到使函数最小的`a`和`b`的值，可以通过向凹函数的拐点进行逼近的方式来找到更好的`a`和`b`的值，具体的公式如下所示：
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$$
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a^\prime = a + (-1) \times \frac {\partial loss(a, b)} {\partial a} \times \Delta \\
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b^\prime = b + (-1) \times \frac {\partial loss(a, b)} {\partial b} \times \Delta
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$$
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对于上面的求 $ SSR $ 的函数来说，可以用下面的公式计算偏导数：
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f(a, b) = \frac {1} {N} \sum_{i=1}^{N}(y_i - (ax_i + b))^2 \\
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\frac {\partial {f(a, b)}} {\partial {a}} = \frac {2} {N} \sum_{i=1}^{N}(-x_iy_i + x_i^2a + x_ib) \\
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\frac {\partial {f(a, b)}} {\partial {b}} = \frac {2} {N} \sum_{i=1}^{N}(-y_i + x_ia + b)
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上面的方法称为**梯度下降法**。
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在Excel中，可以使用“数据分析”模块的“”来实现线性回归。
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对于回归分析，最为重要的是评价回归的结果是否理想，这关系到能否通过回归方程去预测将来，我们先看看决定系数（Multiple R-Squared，通常称之为$ R^2 $）。在统计学习中，决定系数用于度量因变量的变化中可由自变量解释部分所占的比例，也就是你的回归模型的解释力是否良好，$ R^2 $ 的值越接近`1`越好。
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SS_{tot} = \sum_{i}(y_{i} - \bar {y})^2 \\
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SS_{res} = \sum_{i}(y_{i} - \hat {y_i})^2 \\
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R^2 = 1 - \frac {SS_{res}} {SS_{tot}}
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<img src="https://gitee.com/jackfrued/mypic/raw/master/20210714074159.png" width="60%">
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接下来我们还要对回归方程的显著性进行检验，主要包括 t 检验（回归系数的检验）和F检验（回归方程的检验）。对于F检验（F-statistic）的结果，主要关注其 p-value ，如果 p-value 小于0.05，那么说明拟合效果是不错的。
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