## k最近邻分类

$k$最近邻（简称kNN，k-Nearest Neighbor）是Cover和Hart在1968年提出的一种简单的监督学习算法，可用于字符识别、文本分类、图像识别等领域。kNN的工作机制非常简单：给定测试样本，基于某种距离度量（如：欧式距离、曼哈顿距离等）找出训练集中与其最接近的$k$个训练样本，然后基于这$k$个“最近邻居”的信息来进行预测。对于分类任务，可以在$k$个最近邻居中选择出现次数最多的类别标签作为预测的结果；对于回归任务，可以使用$k$个最近邻居实际输出（目标值）的平均值作为预测的结果，当然也可以根据距离的远近进行加权平均，距离越近的样本权重值就越大。

### 距离的度量

1. 欧氏距离

$$
d = \sqrt{\sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}
$$

2. 曼哈顿距离

$$
d = \sum_{k=1}^n \mid {x_{1k}-x_{2k}} \mid
$$

3. 切比雪夫距离

$$
d = max(\mid x_{1k}-x_{2k} \mid)
$$

4. 闵可夫斯基距离
    - 当$p=1$时，就是曼哈顿距离
    - 当$p=2$时，就是欧式距离
    - 当$p \to \infty$时，就是切比雪夫距离

$$
d = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^n \mid x_{1k}-x_{2k} \mid ^p}
$$

5. 余弦距离
    $$
    cos(\theta) = \frac{\sum_{k=1}^n x_{1k}x_{2k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^n x_{1k}^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n x_{2k}^2}}
    $$

### 鸢尾花数据集介绍



### kNN算法实现



###使用Scikit-learn实现kNN



### 算法优缺点

优点：

1. 简单有效
2. 重新训练代价低
3. 适合类域交叉样本
4. 适合大样本分类

缺点：

1. 惰性学习
2. 输出的可解释性不强
3. 不擅长处理不均衡样本
4. 计算量比较大


### k值的选择和交叉检验

k值的选择对于kNN算法的结果有非常显著的影响。下面用李航博士的《统计学习方法》一书中的叙述，来对k值的选择加以说明。

如果选择较小的$k$值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差会减小，只有与输入实例较近（相似的）训练实例才会对预测结果起作用；但缺点是“学习”的估计误差会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感，如果近邻的实例点刚好是噪声，预测就会出错。换句话说，$k$值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生**过拟合**。

如果选择较大的$k$值，就相当于用较大的邻域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。对于$k=N$的极端情况（其中$N$代表所有的训练实例的数量），那么无论输入实例是什么，都会预测它属于训练实例中最多的类，很显然，这样的模型完全忽略了训练实例中大量的有用信息，是不可取的。

实际应用中，$k$的取值通常都比较小，可以通过交叉检验的方式来选择较好的$k$值。