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k最近邻分类
k最近邻（简称kNN，k-Nearest Neighbor）是Cover和Hart在1968年提出的一种简单的监督学习算法，可用于字符识别、文本分类、图像识别等领域。kNN的工作机制非常简单：给定测试样本，基于某种距离度量（如：欧式距离、曼哈顿距离等）找出训练集中与其最接近的k个训练样本，然后基于这k个“最近邻居”的信息来进行预测。对于分类任务，可以在k个最近邻居中选择出现次数最多的类别标签作为预测的结果；对于回归任务，可以使用k个最近邻居实际输出（目标值）的平均值作为预测的结果，当然也可以根据距离的远近进行加权平均，距离越近的样本权重值就越大。
距离的度量
- 欧氏距离
d = \sqrt{\sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}
- 曼哈顿距离
d = \sum_{k=1}^n \mid {x_{1k}-x_{2k}} \mid
- 切比雪夫距离
d = max(\mid x_{1k}-x_{2k} \mid)
- 闵可夫斯基距离
- 当
p=1时，就是曼哈顿距离 - 当
p=2时，就是欧式距离 - 当
p \to \infty时，就是切比雪夫距离
- 当
d = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^n \mid x_{1k}-x_{2k} \mid ^p}
- 余弦距离
$ cos(\theta) = \frac{\sum_{k=1}^n x_{1k}x_{2k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^n x_{1k}^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n x_{2k}^2}}
鸢尾花数据集介绍
kNN算法实现
###使用Scikit-learn实现kNN
算法优缺点
优点：
- 简单有效
- 重新训练代价低
- 适合类域交叉样本
- 适合大样本分类
缺点：
- 惰性学习
- 输出的可解释性不强
- 不擅长处理不均衡样本
- 计算量比较大
k值的选择和交叉检验
k值的选择对于kNN算法的结果有非常显著的影响。下面用李航博士的《统计学习方法》一书中的叙述，来对k值的选择加以说明。
如果选择较小的k值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差会减小，只有与输入实例较近（相似的）训练实例才会对预测结果起作用；但缺点是“学习”的估计误差会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感，如果近邻的实例点刚好是噪声，预测就会出错。换句话说，k值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。
如果选择较大的k值，就相当于用较大的邻域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。对于k=N的极端情况（其中N代表所有的训练实例的数量），那么无论输入实例是什么，都会预测它属于训练实例中最多的类，很显然，这样的模型完全忽略了训练实例中大量的有用信息，是不可取的。
实际应用中，k的取值通常都比较小，可以通过交叉检验的方式来选择较好的k值。